四川高职数学单招真题讲解
在四川高职的数学单招考试中，数学是一个非常重要的科目。为了帮助大家更好地备考，下面将对一道典型的数学单招真题进行讲解。
题目描述
已知函数$f(x)=\sqrt{3x^2-4x+5}$，求$f(1+\sqrt{7})$的值。
解题思路
要求$f(1+\sqrt{7})$的值，首先需要确定$x$的值。根据题目中给出的函数表达式，可以得到：
$f(x)=\sqrt{3x^2-4x+5}$
将$x$替换为$1+\sqrt{7}$，即可求得$f(1+\sqrt{7})$的值。
计算过程
将$x$替换为$1+\sqrt{7}$，得到：
$f(1+\sqrt{7})=\sqrt{3(1+\sqrt{7})^2-4(1+\sqrt{7})+5}$
进一步化简：
$= \sqrt{3(1+2\sqrt{7}+7)-4-4\sqrt{7}+5}$
$= \sqrt{3+6\sqrt{7}+21-4-4\sqrt{7}+5}$
$= \sqrt{25+2\sqrt{7}}$
由于无法直接计算$\sqrt{25+2\sqrt{7}}$的值，我们需要进行进一步的化简。
设$\sqrt{25+2\sqrt{7}}=a+b$，其中$a$和$b$为待定常数。
将$a+b$的平方展开：
$(a+b)^2=(a^2+b^2)+2ab$
根据题目中的等式可以得到：
$a^2+b^2=25$
$2ab=2\sqrt{7}$
由第二个等式可以解得：
$ab=\sqrt{7}$
然后将$a^2+b^2=25$代入第一个等式中：
$a^2+(\frac{\sqrt{7}}{a})^2=25$
进一步化简得：
$a^4-25a^2+\sqrt{7}^2=0$
解这个二次方程，可以得到：
$a=\pm5$
代入$ab=\sqrt{7}$中，可以求得$b$的值：
当$a=5$时，$b=\frac{\sqrt{7}}{5}$
当$a=-5$时，$b=-\frac{\sqrt{7}}{5}$
因此，可得到两个解：
$\sqrt{25+2\sqrt{7}}=5+\frac{\sqrt{7}}{5}$
或
$\sqrt{25+2\sqrt{7}}=-5-\frac{\sqrt{7}}{5}$
由于求的是正根，所以最终结果为：
$f(1+\sqrt{7})=5+\frac{\sqrt{7}}{5}$
总结
通过以上的计算过程，我们成功求得了$f(1+\sqrt{7})$的值。这道题目考察了对函数的代入运算和平方展开的技巧。在解题过程中，我们也学到了如何化简复杂的根式表达式，并通过求解二次方程得到最终的结果。
希望这道题目的讲解对大家的数学单招备考有所帮助！
